[메타코드 강의후기] 통계 기초의 모든것 | 확률과 확률변수(3)

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기대값 : 확률변수의 모든 값의 평균

 

이산확률변수

확률변수의 값이 x1, ...이고 X = xi일 확률이 f(xi)일 때,

$$\sum_{i=1}^{\infty}x_i f(x_i)$$

 

연속확률변수

확률변수 X가 [l, u] 구간의 모든 값을 취하고 X의 확률밀도함수가 f(x)일 때,

$$E(X) = \int_i^u xf(x)dx$$

 

1. 기대값의 성질(a, b는 상수, X, Y는 확률변수)

$$E(a) = a$$

$$E(aX) = a * E(X)$$

$$E(X\pm b) = E(X) \pm b$$

$$E(aX\pm b) = a * E(X) \pm b$$

$$E[c_1g_1(x) + c_2g_2(X) = c_1E[g_1(X)]+c_2E[g_2(X)]$$

 

기대값의 성질을 왜 알아야 하는가?

남자 키 ㅍ평균의 기대값을 구한 상태에서

타국의 키 평균을 구하고자 할 때 타국의 키 평균이 대한민국 남자 키 평균보다 3cm크다는 사실이 정확하다는 가정하에, 기댓값의 성질인 E(X + b) = E(X) + b를 이용하여 해결이 가능하다.

 

연속확률변수는 왜 적분으로 푸는가?

cdf라는 확률값을 가지고 있는 함수에서 미분한 pdf가 f(x)이기 때문에 확률값을 가지고 있는 것이 아니다.

이는 확률의 정의에 맞지 않기 때문에 적분을 통해서 cdf함수로 변환해야 한다.

 

분산과 표준편차의 연산

$$Var(X\pm b) = Var(x)$$

$$Var(aX) = a^2Var(X)$$

$$Var(aX\pm b) = a^2Var(X)$$

 

$$\sigma(X\pm b) = \sigma(X)$$

$$\sigma(aX) = a\sigma(X)$$

$$\sigma(aX\pm b) = a\sigma(X)$$

 

공분산

$$Cov(X, Y) = E[(X-u_1)(Y-u_2)]$$

 

상관계수 : 공분산을 각각의 표준편차의 곱으로 나누어 준 것

$$Corr(X, Y) = frac{Cov(X,Y)}{sd(X)sd(Y)}$$

 

공분산과 상관계수의 성질

$$Cov(aX + b, cY + d) = adCov(X, Y)$$

$$Corr(aX + b, cY + d) = Corr(x, y) ac > 0, -Corr(X, Y) ac < 0$$

$$-1 <= Corr(X, Y) <= 1$$

 

두 확률변수 합의 분산

$$Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y)$$

$$Var(X-Y) =  Var(X) + Var(Y) - 2Cov(X, Y)$$

 

$$E(X+Y) = E(X) + E(Y)$$

 

두 확률변수가 독립일 합의 분산 중 2Cov(X, Y)에 대한 값이 0이 된다.

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위 내용은 메타코드 "통계 기초의 모든것 올인원"강의의 1편 2강 : 확률과 확률변수의 "기대값" 및 "분산과 표준편차"의 요약 내용입니다.

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통계를 이전에도 공부했었지만 본 강의를 통해 AI와 어떻게 관련되는지, 왜 공부해야하는지에 대한 목적의식이 생겨 재밌게 공부할 수 있게되었습니다. 이전에 확률,통계를 공부하셨더라도 다시 한 번 개념을 공부하고 싶으신 분들에게 추천합니다.

 

해당 게시물은 서포터즈 지원을 받아 작성하였습니다.